解：$(1)$设二次函数表达式为$y=a(x+1)^2+2$
将点$(0，$$\frac 32)$代入可得$\frac 32=a(0+1)^2+2$
∴$a=-\frac 12$
∴$y=-\frac 12(x+1)^2+2，$函数图像如图所示
$(2)$由图可得，$-3＜x＜1$
$(3)$若点$M$在此二次函数的图像上，
则$-\ \mathrm {m^2}=- \frac {1}{2} (m+1)^2+2$
化简，得$\ \mathrm {m^2}-2\ \mathrm {m}+3=0$
方程的判别式$b^2-4ac=4-12=-8< 0，$该方程无实数根
∴对任意实数$m，$点$M(m，$$-\ \mathrm {m^2})$都不在这个二次函数的图像上
