第33页 - 同步练习九年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

$\frac {15}{2}$

B

解：$(1)$相似，理由如下

∵$AB=AC，$$∠A=36°，$$∠B=∠ACB=72°$

∵$CD$是$∠ACB$的平分线

∴$∠BCD=\frac 12∠ACB=36°$

∴$∠BCD=∠A$

∵$∠B=∠B$

∴$△ABC∽△CBD$

$(2)AD^2=AB · BD，$理由如下：

∵$△ABC∽△CBD$

∴$\frac {AB}{BC}=\frac {BC}{BD}$

∴$BC^2=AB · BD$

∵$∠CDB=180°-36°-72°=72°$

∴$∠CDB=∠B$

∴$CD=BC$

∵$∠A=∠ACD=36°$

∴$AD=CD=BC$

∴$AD^2=AB · BD$

AB

AD

解：$(1)$∵$△ABC$为直角三角形，$CD$是斜边$AB$上的高

∴$∠ACB=∠ADC=90°$

∵$∠A=∠A$

∴$△ABC∽△ACD$

∵$∠ACB=∠CDB=90°，$$∠B=∠C$

∴$△ABC∽△CBD$

∴$△ABC∽△CBD∽△ACD$

$(3)BC$是$BD$和$AB$的比例中项，$CD$是$AD$和$BD$的比例中项，理由如下：

∵$△ABC∽△CBD$

∴$\frac {AB}{BC}=\frac {BC}{BD}$

∴$BC$是$BD$和$AB$的比例中项

∵$△CBD∽△ACD$

∴$\frac {BD}{CD}=\frac {CD}{AD}$

∴$CD$是$AD$和$BD$的比例中项

解：∵三个内角的平分线交于点$D$

∴$BD$平分$∠ABC，$$CD$平分$∠ACB，$$AD$平分$∠BAC$

∴$∠MBD=∠DBC=\frac 12∠ABC，$$∠NCD=∠DCB=\frac 12∠ACB，$

$∠BAD=∠CAD=\frac 12∠BAC$

∵$AD⊥MN$

∴$∠ADM=∠ADN=90°$

∵$∠BMD=∠BAD+90°=\frac 12∠BAC+90°，$$∠DNC=∠CAD+90°=\frac 12∠BAC+90°$

又∵$∠BDC=∠BAC+∠MBD+∠NCD=∠BAC+\frac 12(∠ABC+∠ACB)=\frac 12∠BAC+90°$

∴$∠BMD=∠BDC=∠DNC$

∵$∠MBD=∠DBC，$$∠NCD=∠DCB$

∴$△MBD∽△DBC，$$△DBC∽△NDC$

∴$△MBD∽△DBC∽△BDC$