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解：$(1)$∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AB//CD$

∴$∠BAE=∠ECF$

∵$∠BEA=∠CEF$

∴$△ABE∽△CFE$

∴$AB：$$CF=BF：$$EF=3：$$2$

∴$DF：$$AB=1：$$3$

$(2)$∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AD//BC$

∴$∠G=∠FBC$

∵$∠DFG=∠BFC$

∴$△DFG∽△CFB$

∴$\frac {FG}{BF}=\frac {DF}{CF}$

∵$DF：$$AB=1：$$3$

∴$\frac {FG}{BF}=\frac {DF}{CF}=\frac 12$

∵$BF=BE+EF=5$

∴$FG=\frac 52$

BE

FE

解：$(1)△AEF∽△ADC，$证明如下：

∵$△ABC$是等边三角形

∴$AB=BC=CA，$$∠BAE=∠C=60°$

∵$BD=CE$

∴$CD=AE$

在$△ACD$和$△BAE$中

$\begin{cases}{CD=AE}\\{∠C=∠BAE}\\{AC=AB}\end{cases}$

∴$△ACD≌△BAE(\mathrm {SAS})$

∴$∠ADC=∠BEA$

∵$∠EAF=∠DAC$

∴$△AEF∽△ADC$

$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是正方形

∴$∠B=∠BAD=90°$

∵$DQ⊥AP$

∵$∠DQA=90°$

∵$∠BAP+∠DAQ= ∠QDA+∠DAQ=90°$

∴$∠BAP=.∠QDA$

∵$∠B=∠DQA=90°$

∴$△DQA∽△ABP$

$(2)$解：连接$DP$

∵$S_{△ADP}=\frac 12S_{正方形ABCD}=\frac 12×2×2=2$

又∵$S_{△ADP}=\frac 12 · PA · DQ=\frac 12xy$

∴$\frac 12xy=2$

∴$y=\frac 4{x}$

解：连接$BG$并延长与$AC$交于点$E，$连接$DE$

∵$G $是$△ABC$的重心

∴$BE$是$△ABC$的中线，点$E$是$AC$的中点

∵点$D$是$BC$的中点

∴$DE$是$△ABC$的中位线

∴$DE//AB，$$DE=\frac 12AB$

∴$∠ABG=∠GED$

∵$∠AGB=∠DGE$

∴$△ABG∽△DEG$

∴$\frac {AG}{DG}=\frac {AB}{DE}=2$

∴$\frac {AG}{AD}=\frac 23$

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