解：$ (1) △ADN∽△MBN，$相似比为$3：$$ 1 ；$$ △ABD∽△CDB，$相似比为$1 ：$$ 1$
$(2)$∵四边形$ABCD$为平行四边形
∴$AD//BC$且$AD=BC$
∴$∠ADN=∠MBN$
∵$∠AND=∠MNB$
∴$△ADN∽△MBN$
∴$\frac {AD}{BM}=\frac {AN}{MN}$
∵$AM：$$NM=4：$$1$
∴$\frac {AD}{BM}=\frac {AN}{MN}=3$
∴$BC=AD=3BM$
∴$CM= 2BM$
∵$CM= 2\ \mathrm {cm}$
∴$BM=1\ \mathrm {cm}，$$BC=3\ \mathrm {cm}$
