第43页 - 同步练习九年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

解：$(1)△ABE∽△ECD$

∵$EC//AB$

∴$∠A=∠CED$

∵$EB//DC$

∴$∠AEB=∠EDC$

$(2)$∵$△ABE∽△ECD$

∴$\frac {S_{△ABE}}{S_{△ECD}}=(\frac {h_{1}}{h_{2}})^2=\frac 49$

∴$\frac {h_{1}}{h_{2}}=\frac 23$

∵$\frac {S_{△BCE}}{S_{△CDE}}=\frac {BE}{CD}=\frac {h_{1}}{h_{2}}=\frac 23，$$S_{△CDE}=9$

∴$S_{△BCE}=6$

解：图①中，设$DE=x\ \mathrm {cm}，$则$DG=2x\ \mathrm {cm}$

∵四边形$DEFG $是矩形

∴$DG//BC$

∴$△ADG∽△ABC$

∴$\frac {AM}{AH}=\frac {DG}{BC}$

∵$DG=2x\ \mathrm {cm}，$$BC=12\ \mathrm {cm}，$$AH=8\ \mathrm {cm}$

∴$\frac {AM}8=\frac {2x}{12}$

∴$AM=\frac 43x\ \mathrm {cm}$

∵$MH=DE=x\ \mathrm {cm}$

又∵$AM+MH=AH$

∴$\frac 43x+x=8$

解得$x=\frac {24}{7}$

∴$S_{矩形DEFG}=DE×DG=\frac {1152}{49}\ \mathrm {cm^2}$

图②中，设$DG=x\ \mathrm {cm}，$则$DE=2x\ \mathrm {cm}$

同理可得，$△ADG∽△ABC$

∴$\frac {AM}{AH}=\frac {DG}{BC}$

∴$AM=\frac 23x\ \mathrm {cm}$

∵$MH=DE=2x\ \mathrm {cm}，$$AM+MH=AH=8\ \mathrm {cm}$

∴$\frac 23x+2x=8$

解得$x=3$

∴$DG=3\ \mathrm {cm}，$$DE=6\ \mathrm {cm}$

∴$S_{矩形DEFG}=DG×DE=18\ \mathrm {cm^2}$

∵$\frac {1152}{49}＞18$

∴图①的设计方案更好

解：由题意得$AB=k_{AD}，$$A'B'=kA'D'$

∵$BD=\sqrt {AB^2-AD^2}=\sqrt {k^2-1}AD，$$B'D'=\sqrt {A'B'^2-A'D'^2}=\sqrt {k^2-1}A'D'$

∴$\frac {BD}{B'D'}=\frac {AD}{A'D'}$

∵$∠ADB=∠A'D'B'=90°$

∴$△ABD∽△A'B'D'$

∴$∠ABD=∠A'B'D'$

∵$∠C=∠C'$

∴$△ABC∽△A'B'C'$

∴$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AD}{A'D'}=\frac {BE}{B'E'}$

∴$AD · B'E'=A'D' · BE$