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解：设$a=3x$

在$Rt△ABC$中，∵$tan A=\frac {a}b=\frac 34，$$a=3x$

∴$b=4x$

∴$c=\sqrt {a^2+b^2}=5x$

∵$c=5\sqrt {13}$

∴$5x=5\sqrt {13}$

解得$x=\sqrt {13}$

∴$a=3x=3\sqrt {13}，$$b=4x=4\sqrt {13}$

解：在$Rt△ACD$中，∵$∠A=α，$$CD=h$

∴$tan α=\frac {CD}{AD}$

∴$AD=\frac {CD}{tan α}=\frac {h}{tan α}$

同理可得$BD=\frac {CD}{tan β}=\frac {h}{tan β}$

∴$AB=AD+BD=\frac {h}{tan α}+\frac h{tan β}$

解：分两种情况

①当$△ABC$为锐角三角形时

在$Rt△ACH$中，∵$AC=AB，$$CH=\frac 35AB$

∴$AH=\sqrt {AC^2-CH^2}=\frac 45AB$

∴$BH=AB-AH=\frac 15AB$

在$Rt△BCH$中，∵$CH=\frac 35AB，$$BH=\frac 15AB$

∴$tan B=\frac {CH}{BH}=3$

②当$△ABC$为钝角三角形时

同理，$AH=\frac 45AB$

∴$BH=AB+AH=\frac 95AB$

在$Rt△BCH$中，∵$CH=\frac 35AB，$$BH=\frac 95AB$

∴$tan B=\frac {CH}{BH}=\frac 13$

综上所述，$tan B$的值为$3$或$\frac 13$

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