解：$(1)$在$Rt△ABC$中，∵$BC=6，$$AB=10$
∴$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=8$
∴$tan A=\frac {BC}{AC}=\frac 34$
∵$CD$是斜边上的高
∴$∠CDB=∠ACB=90°$
∴$∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°$
∴$∠B=∠ACD$
∴$tan ∠ACD=tan B=\frac {AC}{BC}=\frac 43$
$(2)$不妨设$AD=9x，$则$BD=4x$
∵$∠ACD=∠B$
∴$90°-∠ACD=90°-∠B，$即$∠BCD=∠A$
∴$tan ∠BCD=tan A，$即$\frac {BD}{CD}=\frac {CD}{AD}$
∴$CD^2=BD · AD$
∵$AD=9x，$$BD=4x$
∴$CD=6x$
∴$tan ∠BCD=\frac {BD}{CD}=\frac {4x}{6x}=\frac 23$
