第62页 - 同步练习九年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

解：$(1)$在$Rt△ABC$中，∵$AC=2，$$BC=3，$$∠C=90°$

∴$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {13}$

∴$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac 3{\sqrt {13}}=\frac {3\sqrt {13}}3，$$cosA=\frac {AC}{AB}=\frac 2{\sqrt {13}}=\frac {2\sqrt {13}}{13}$

$(2)$不妨设$BC=1，$则$AB=\sqrt 3$

在$Rt△ABC$中，∵$BC=1，$$AB=\sqrt 3，$$∠C=90°$

∴$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=\sqrt 2$

∴$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac 1{\sqrt 3}=\frac {\sqrt 3}3，$$cos A=\frac {AC}{AB}=\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}=\frac {\sqrt 6}3$

$(3)tan B=\frac {AC}{BC}=\frac 35$

不妨设$AC=3x，$则$BC=5x$

在$Rt△ABC$中，∵$AC=3x，$$BC=5x$

∴$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {34}x$

∴$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {5x}{\sqrt {34}x}=\frac {5\sqrt {34}}{34}，$$cosA=\frac {AC}{AB}=\frac {3x}{\sqrt {34}x}=\frac {3\sqrt {34}}{34}$

解：连接$OA、$$OC，$过点$O$作$OD⊥BC，$垂足为点$D$

∵$PA$与$\odot O$相切

∴$OA⊥PA$

∵$OD⊥BC，$$PA⊥PB$

∴四边形$OAPD$是矩形

∴$OA=DP，$$OD=AP$

∵$BC=8，$$OD⊥BC$

∴$CD=\frac 12BC=4$

∵$CP=1$

∴$OA=DP=5$

在$Rt△OCD$中，∵$OC=OA=5，$$CD=4$

∴$OD=\sqrt {OC^2-CD^2}=3$

∴$AP=OD=3$

在$Rt△APB$中，∵$AP=3，$$BP=BC+CP=9$

∴$AB=\sqrt {AP^2+BP^2}=3\sqrt {10}$

∴$sin ∠ABC=\frac {AP}{AB}=\frac 3{3\sqrt {10}}=\frac {\sqrt {10}}{10}$

解：过点$O$作$OD⊥AC，$垂足为点$D$

设直线$AC$的函数表达式为$y=kx+b$

将点$A(2，$$0)、$$B(0，$$2)$代入得$\begin{cases}{2k+b=0}\\{b=2}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{k=-1}\\{b=2}\end{cases}$

∴直线$AC$的表达式为$y=-x+2$

将点$C(-1，$$m)$代入得$m=3$

∴点$C$的坐标为$(-1，$$3)$

∴$OC=\sqrt {(-1)^2+3^2}=\sqrt {10}$

∵$OA=OB=2$

∴$∠OAB=45°$

∵$OD⊥AC$

∴$△OAD$为等腰直角三角形

∴$OD=\frac {OA}{\sqrt 2}=\sqrt 2$

在$Rt△OCD$中，∵$OD=\sqrt 2，$$OC=\sqrt {10}$

∴$sin ∠ACO=\frac {OD}{OC}=\frac {\sqrt 2}{\sqrt {10}}=\frac {\sqrt 5}5$