解：$(1)$在$Rt△BMN$中，∵$BN=3，$$MN=4$
∴$BM=\sqrt {BN^2+MN^2}=5$
∴$sin B=\frac {MN}{BM}=\frac 45，$$cos B=\frac {BN}{BM}=\frac 35，$$tan B=\frac {MN}{BN}=\frac 43$
$(2)$∵$MN⊥AB$
∴$∠MNB=∠C=90°$
∴$∠B+∠BMN=∠B+∠A=90°$
∴$∠BMN=∠A$
在$Rt△ABC$中，∵$AB=10，$$BC=5$
∴$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=5\sqrt 3$
∴$sin ∠BMN=sin A=\frac {BC}{AB}=\frac 12，$$cos ∠BMN=cosA=\frac {AC}{AB}=\frac {\sqrt 3}2$
$tan ∠BMN=tan A=\frac {BC}{AC}=\frac {\sqrt 3}3$
$(3)$∵$cos ∠BMN=cosA=\frac {AC}{AB}=\frac 34$
不妨设$AC=3x，$$AB=4x$
在$Rt△ABC$中，∵$AC=3x，$$AB=4x$
∴$BC=\sqrt {AB^2-AC^2}=\sqrt 7x$
∴$sinB=\frac {AC}{AB}=\frac {3x}{4x}=\frac 34，$$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {\sqrt 7x}{4x}=\frac {\sqrt 7}4，$$tanA=\frac {BC}{AC}=\frac {\sqrt 7x}{3x}=\frac {\sqrt 7}3$
