解：$(1)$∵四边形$ABCD$是菱形，且菱形$ABCD$的边长为$2$
∴$AB=BC=2，$$∠BAC= \frac 12∠DAB$
又∵$∠DAB=60°$
∴$∠BAC=∠BCA=30°$
如图①，连接$BD$交$AC$于点$O$
∵四边形$ABCD$是菱形
∴$AC⊥BD，$$OA=\frac {1}{2}\ \mathrm {AC}$
∴$OB=\frac {1}{2}\ \mathrm {AB}=1$
∴$OA=\sqrt 3，$$AC=2OA=2\sqrt{3}$
运动$ts $后，$AP=\sqrt{3}\ \mathrm {t}，$$AQ=t$
∴$\frac {AP}{AQ}=\frac {AC}{AB}=\sqrt 3$
又∵$∠PAQ=∠CAB$
∴$△PAQ∽△CAB$
∴$∠APQ=∠ACB$
$(2)$如图②，$\odot P $与$BC$切于点$M，$连接$PM，$则$PM⊥BC$
在$Rt△CPM$中，∵$∠PCM=30°$
∴$PM=\frac {1}{2}\ \mathrm {PC}=\sqrt{3} - \frac {\sqrt{3}}{2}\ \mathrm {t}$
由$PM=PQ=AQ=t，$即$\sqrt 3- \frac {\sqrt{3}}{2}\ \mathrm {t}=t$
解得$t=4 \sqrt{3} -6$
此时$\odot P $与边$BC$有一个公共点
如图③，$OP $过点$B，$此时$PQ=PB$
∵$∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°$
∴$△PQB$为等边三角形
∴$QB=PQ=AQ=t$
∴$t=1$
∴当$4 \sqrt{3} -6< ≤1$时，$\odot P $与边$BC$有两个公共点
如图④，$⊙P $过点$C，$此时$PC=PQ，$即$2 \sqrt{3} - \sqrt{3}\ \mathrm {t}=t$
∴$t=3-\sqrt{3} $
∴当$1< t≤3-\sqrt{3} $时，$\odot P $与边$BC$有一个公共点
当点$P $运动到点$C，$即$t=2$时，点$Q 、$点$B$重合，$\odot P $过点$B，$此时$\odot P $与边$BC$有一个公共点
综上所述，当$t=4 \sqrt{3} -6$或$1< t< 3-\sqrt{3} $或$t=2$时，$\odot P $与菱形$ABCD$的边$BC$有一个公共点；
当$4 \sqrt{3} -6< t≤1$时，$\odot P $与边$BC$有两个公共点
