第130页 - 同步练习九年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

解：$(1)$经测量$AE=1.5\ \mathrm {cm}，$$CE=0.75\ \mathrm {cm}$

$AE：$$CE=2：$$1$

$(2)$作$CH//AB$交$DF{于}H$

∵$CH//AB，$$CD=BC$

∴$\frac {CH}{BF}=\frac {1}{2}$

∵点$F $是$AB$的中点

∴$\frac {CH}{AF}=\frac {1}{2}$

∵$CH//AB$

∴$\frac {AE}{CE}=\frac {AF}{CH}=2$

$(1)$证明：∵$CD⊥AB$

∴$∠ADC=∠BDC=90°$

∵$E$为$AC$的中点

∴$AE=DE$

∴$∠A=∠ADE$

∵$∠ADE=∠FDB$

∴$∠A=∠FDB$

∵$∠ADC=∠ACB=90°$

∴$∠A+∠ACD=90°，$$∠ACD+∠BCD=90°$

∴$∠A=∠BCD=∠FDB$

∵$∠F=∠F$

∴$△FDB∽△FCD$

$(2)$解：在$Rt△ACB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {3^2+2^2}=\sqrt {13}$

∴$sin∠ABC=\frac {AC}{AB}=\frac {3\sqrt {13}}{13}，$$cos∠ABC=\frac {BC}{AB}=\frac {2\sqrt {13}}{13}$

在$Rt△BCD$中，∵$BC=2$

∴$BD=BC · cos∠ABC=\frac {4\sqrt {13}}{13}，$$CD=BC · sin∠ABC=\frac {6\sqrt {13}}{13}$

∴$S_{△CBD}=\frac 12BD×CD=\frac {12}{13}$

设$S_{△FDB}=x$

∵$△FDB∽△FCD$

∴$\frac {S_{△FDB}}{S_{△FCD}}=(\frac {BD}{CD})^2=\frac 49$

∴$S_{△FCD}=\frac 94x$

∴$\frac 94x-x=\frac {12}{13}$

解得$x=\frac {48}{65}$

∴$S_{△FDB}=\frac {48}{65}$

解：∵$BC=8，$$BC$上的高为$6$

∴$△ABC$的面积$=\frac {1}{2}×8×6=24$

当$0＜x≤3$时，如图$(1)，$$△A'MN$与四边形$BCNM$重叠部分的面积$y=S_{△AMN}$

∵$MN//BC$

∴$△AMN∽△ABC$

∴$\frac {y}{24}=(\frac {x}{6})^2$

∴$y=\frac {2}{3}x^2$

当$3＜x＜6$时，如图$(2)，$重叠部分为梯形$MDEN$

∵$DE//MN$

∴$△AMN∽△ABC$

∴$MN：$$BC=x：$$6$

∴$MN：$$8=x：$$6$

∴$MN=\frac {4}{3}x$

∵$△AMN≌△A'MN$

∴$△A'DE$的边$DE$的高是$2x-6$

∵$△A'DE∽△A'MN$

∴$DE：$$MN=(2x-6)：$$x$

∴$DE：$$\frac {4}{3}x=(2x-6)：$$x$

∴$DE=\frac {4}{3}(2x-6)$

∵梯形$MNED$的高是$6-x$

∴梯形$MNED$的面积$=\frac {1}{2}[\frac {4}{3}(2x-6)+\frac {4}{3}x](6-x)=-2x^2+16x-24$

∴$y=-2x^2+16x-24$

∴综上所述，$y=\begin{cases}{\dfrac {2}{3}x^2(0＜x≤3)}\\{-2x^2+16x-24(3＜x＜6)}\end{cases}$