解：$(1)$∵$BC=6，$点$M$是$BC$的中点
∴$BM=\frac 12BC=3$
∵$AB=4$
∴$S_{△ABM}=\frac 12×AB×BM=6$
$(2)$∵四边形$ABCD$是矩形
∴$AD//BC，$$∠B=90°$
∴$∠DAE=∠AMB$
∵$DE⊥AM$
∴$∠DEA=∠B=90°$
∵$∠DAE=∠AMB，$$∠DEA=∠B$
∴$△ADE∽△AMB$
∴$\frac {DE}{DA}=\frac {AB}{AM}$
在$Rt△ABM$中，∵$AB=4，$$BM=3$
∴$AM=\sqrt {AB^2+BM^2}=5$
∵$DA=BC=6$
∴$\frac {DE}{6}=\frac 45$
∴$DE=\frac {24}{5}$
$(3)$在$Rt△ADE$中，∵$DA=6，$$DE=\frac {24}{5}$
∴$AE=\sqrt {DA^2-DE^2}=\frac {18}{5}$
∴$S_{△ADE}=\frac 12×AE×DE=\frac {216}{25}$
