解：$(1)AP=AB，$$AP⊥AB$
$ (2)AP=BO，$$AP⊥BO。$ 证明如下：
延长$BO$交$AP $于点$H$
∵$∠EPF=45°，$$AC⊥BC$
∴$△OPC$为等腰直角三角形
∴$OC=PC$
在$△ACP $和$△BCO$中
$\begin{cases}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCO}\\{PC=OC}\end{cases}$
∴$△ACP≌△BCO(\mathrm {SAS})$
∴$AP=BO，$$∠CAP=∠CBO$
∵$∠AOH=∠BOC$
∴$∠AHO=∠BCO=90°$
∴$AP⊥BO$
$(3) (2)$中的猜想成立。理由如下：
延长$OB$交$AP $于点$M$
∵$∠EPF=45°$
∴$∠CPO=45°$
∵$AC⊥BC$
∴$△CPO$为等腰直角三角形
∴$OC=PC$
在$△APC$和$△BOC$中
$\begin{cases}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCO}\\{PC=OC}\end{cases}$
∴$△APC≌△BOC(\mathrm {SAS})$
∴$AP=BO，$$∠APC=∠COB$
∵$∠PBM=∠CBO$
∴$∠PMB=∠BCO=90°$
∴$AP ⊥BO$
