$(1)$证明：$OA=OB，$$OC=OD，$$∠AOB=∠COD=50°$
∴$∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，$即$∠AOC=∠BOD$
在$△AOC$和$△BOD$中
$\begin{cases}{AO=BO }\\{∠AOC=∠BOD }\\{OC=OD}\end{cases}$
∴$△AOC≌△BOD(\mathrm {SAS})$
∴$∠CAO=∠DBO$
根据三角形内角和定理可得$∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB $
∴$∠APB=∠AOB=50°$
$(2)$解：$AC=BD，$$∠APB=α$
证明：$OA=OB，$$OC=OD，$$∠AOB=∠COD=α$
∴$∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，$即$∠AOC=∠BOD$
在$△AOC$和$△BOD$中
$\begin{cases}{AO=BO}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{cases}$
∴$△AOC≌△BOD(\mathrm {SAS})$
∴$AC=BD，$$∠CAO=∠DBO$
根据三角形内角和定理可得$∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB$
∴$∠APB=∠AOB=α$
