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证明：∵$AB=AC$

∴$∠ABC=∠ACB$

∵$∠BAC=36°$

∴$∠ABC=∠ACB=72°$

∵$BD$平分$∠ABC，$$∠ABC=72°$

∴$∠ABD=∠DBC=36°$

∴$∠BDC=∠BAC+∠ABD=36°+36°=72°$

∵$∠BAC=∠ABD=36°$

∴$AD=BD$

∵$∠BDC=∠BCD=72°$

∴$BD=BC$

∴$AD=BC$

$(1)$证明：∵$DE⊥AB，$$DF⊥AC，$垂足分别为$E、$$F$

∴$∠E=∠DFC=90°$

∴$△BDE$与$△CDF $均为直角三角形

在$Rt△BDE$和$Rt△CDF $中

$\begin{cases}{BD=CD}\\{BE=CF}\end{cases}$

∴$△BDE≌△CDF(\mathrm {HL})$

∴$DE=DF$

∴$AD$平分$∠BAC$

$ (2)AB+AC=2AE$

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