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解：如图，连接$OP$

∵点$P $关于直线$OA$的对称点为$P_{1}，$

点$P $关于直线$OB$的对称点为$P_{2}$

∴$∠1=∠2，$$∠3=∠4$

∴$∠P_{1}OP_{2}=∠1+∠2+∠3+∠4=2(∠2+∠3)=2∠AOB$

$(1)$证明：∵点$P$在线段$AB$的垂直平分线上

∴$AP=BP$

∴$∠B=∠BAP$

∴$∠APC=∠B+∠BAP=2∠B$

$(2)$解：由作图可知$AB=BQ$

∴$∠BAQ=∠BQA$

∵$∠AQC=∠B+∠BAQ，$$∠AQC=3∠B$

∴$∠BAQ=2∠B$

∵$∠B+∠BAQ+∠BQA=180°$

∴$∠B+2∠B+2∠B=180°$

∴$∠B=36°$

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