解：$(1)$∵$AB//CD$
∴$∠DPA=∠PAB$
由轴对称得：$∠DP-A=∠EPA$
∴$∠EPA=∠PAB$
∴$BP=AB=10$
在$Rt△PCB$中，由勾股定理得：$PC=\sqrt {PB^2-BC^2}=\sqrt {10^2-6^2}=8$
∴$PD=2=2t$
∴$t=1$
$(2) $存在。理由如下：
①当点$E$在矩形$ABCD$内部时，如图①
过点$P $作$PH⊥AB，$过点$Q $作$QG⊥CD，$垂足分别为$H、$$G$
∴$PH=QG=AD=6$
∵$∠APQ=∠APD=∠PAQ$
∴$AQ=PQ$
∵$PQ^2=PG^2+QG^2=PG^2+6^2=36+PG^2$
∴$AQ^2=36+PG^2$
∵$AQ=DG=DP+PG$
∴$(DP+PG)^2=36+PG^2$
∵$DP=2t$
∴$(2t+PG)^2=36+PG^2$
解得$PG=\frac {9-t^2}{t}$
∵$AQ=DP+PG=2t+ \frac {9-t^2}{t}=\frac {t^2+9}{t}$
∴$QE=PQ-PE=PQ-DP=PQ-2t$
∵$QE=QB，$$PQ=AQ$
∴$QB=AQ-2t$
∵$AQ+BQ=AB=10$
∴$AQ+AQ-2t=10，$
∴$AQ=5+t$
∴$5+t=\frac {t^2+9}{t}，$解得$t=\frac {9}{5}$
②当点$E$在矩形$ABCD$的外部时，如图②
∵$∠APQ=∠APD=∠PAQ$
∴$AQ=PQ$
∵$QE=PE-PQ=DP-PQ=2t-PQ，$$QE=QB$
∴$QB=2t-AQ，$即$AB-AQ=2t-AQ$
∴$AB=2t$
∴$t= \frac {AB}{2}=5($此时点$P $与点$C$重合)
综上所述，存在这样的$t $的值，使得$QE=QB，$$t $的值为$ \frac {9}{5} $或$5$
