解：$(1)$∵$△ABC$为直角三角形
∴$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8(\ \mathrm {cm})$
①当$∠APB=90°$时，点$P $与点$C$重合，
$BP=BC=8\ \mathrm {cm}$
∴$t=8$
②当$∠BAP=90°$时，$BP=t\ \mathrm {cm}，$
$CP=(t-8)\ \mathrm {cm}，$$AC=6\ \mathrm {cm}$
在$Rt△ACP $中，$AP^2=6^2+(t-8)^2$
在$Rt△BAP $中，$AB^2+AP^2=BP^2$
∴$10^2+[6^2+(t-8)^2]=t^2$
解得$t=\frac {25}{2}$
综上所述，$t=8$或$ \frac {25}{2}$
$ (2)$在$△ABC$中，$∠ACB=90°，$$BC=8\ \mathrm {cm}$
①当$AB=AP $时，$BP=2BC=16\ \mathrm {cm}，$∴$t=16$
②当$BP=AB=10\ \mathrm {cm} $时，$t=10$
③当$AP=BP $时，如图
设$AP=BP= t\ \mathrm {cm}，$则$PC=(8-t)\ \mathrm {cm}$
在$Rt△ACP $中，$PC^2+AC^2=AP^2$
∴$(8-t)^2+6^2=^2$
解得$t=\frac {25}{4}$
综上所述，$t $的值为$16$或$10$或$ \frac {25}{4}$
