解：如图，过点$C$作$CH⊥AB，$垂足为$H$
由翻折的性质可知$∠APC=∠QPC$
∵$PQ⊥AB$
∴$∠APQ=∠BPQ=90°$
∴$∠APC=∠QPC=135°$
∴$∠BPC=∠QPC-∠BPQ=45°$
∵$CH⊥AB$
∴$CH= PH$
在$ Rt△ABC $中，$AB = \sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵$\frac {1}{2}\ \mathrm {AB}·CH=\frac {1}{2}\ \mathrm {AC}·BC$
∴$PH=CH=\frac {12}{5}$
∴$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\frac {9}{5}$
∴$BP=PH+BH=\frac {21}{5}$
