解：$(1)$由题意得，$m-1-(2m+4)=3$
解得$m=-8$
∴$2m+4=2×(-8)+4=-12，$$m-1=-9$
则点$P$的坐标为$(-12，$$-9)$
$(2)$由题意得，$2m+4=m-1$或$2m+4+m-1=0$
解得$m=-5$或$m=-1$
∴$2m+4=-6，$$m-1=-6$或$2m+4=2，$$m-1=-2$
则点$P$的坐标为$(-6，$$-6)$或$(2，$$-2)$
$(3)$由题意得，$m-1=-5$
解得$m=-4$
∴$2m+4=-4$
则点$P$的坐标为$(-4，$$-5)$
