解：$(2)①$若正方形$ABCD$向右移动(如图①所示)
∵重叠部分的面积为$4$
∴$AB'=1，$$AA'=3$
∴点$A'$表示的数是$2；$
若正方形$ABCD$向左移动(如图②所示)
∵重叠部分的面积为$4$
∴$A'B=1，$$AA'=3$
∴点$A'$表示的数是$-4$
综上，点$A'$表示的数是$2$或$-4$
②∵$ts $后点$E、$$F $表示的数互为相反数
∴$E、$$F $两点位于原点的两侧
∴正方形$ABCD$不可能向左运动
∴正方形$ABCD$向右移动$ts $后，点$A'$表示的数为$-1+2t，$点$B$表示的数为$-5+2t$
∵$E$为$AA'$的中点
∴点$E$表示的数为$ \frac {1+(-1+2t)}{2}=-1+t$
∵ 点$F $在线段$BB'$上，且$BF=\frac {1}{4}\ \mathrm {BB}'$
∴$BF= \frac 14×2t= \frac 12t$
∴点$F $表示的数为$-5+\frac 12t$
∵$E、$$F $两点表示的数互为相反数
∴$-1+t+(-5+ \frac {1}{2}t)=0，$解得$t=4$
