解：$(2)$存在点$P，$使得$APE$的面积等于$20\ \mathrm {cm^2}。$理由如下：
①如图①，当$0< t≤5$时，$S_{△APE}=\frac {1}{2} ×2t×8=20$
解得$t=\frac {5}{2}$
∴$P(5，$$0)$
②如图②，当$5< t≤9$时
$S_{△APE}=80-S_{△ADE}-S_{△ABP}-S_{△PCE}$
即$20=80- \frac {1}{2} ×8×2- \frac {1}{2} ×10×(2t-10)- \frac {1}{2} ×8×(18-2t)$
解得$t=15> 9($不合题意，舍去)
③如图③，当$9< t< 13$时，$S_{△APE}=\frac {1}{2} ×8×(26-2t)=20$
解得$t=\frac {21}{2}$
∴$P(7，$$8)$
综上所述，当点$P $的坐标为$(5，$$0)$或$(7，$$8)$时，$APE$的面积等于$20\ \mathrm {cm^2}$
