证明：$(1)$如图，连接$CD$
∵$AC=AC，$$∠BCA=90°$
∴$△ABC$是等腰直角三角形，$∠A=∠B=45°$
∵$D$为$AB$的中点
∴$BD=AD，$$CD$平分$∠BCA，$$CD⊥AB$
∴$∠DCF=45°$
在$△ADE$和$△CDF $中
$\begin{cases}{AE=CF}\\{∠A=∠FCD}\\{AD=CD}\end{cases}$
∴$△ADE≌△CDF(\mathrm {SAS})$
∴$DE=DF，$$∠ADE=∠CDF$
∵$∠ADE+∠EDC=90°$
∴$∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，$即$DE⊥DF$
$(2)$∵$△ADE≌△CDF$
∴$S_{△AED}=S_{△CFD}$
∴$S_{四边形CEDF}=S_{△ADC}$
∵$D$是$AB$的中点
∴$S_{△ACD}=\frac {1}{2}S_{△ACB}=\frac {1}{2}×2×2=2$
∴$S_{四边形CEDF}=1$
