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$\frac{60}{11}$

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$解：将菱形ABCD沿x轴正方向平移$

$使得点D落在函数y=\frac{27}{x}(x＞0)的图像点D'处$

$则点D'的坐标为(\frac{27}{4},4)$

$\frac{27}{4}-3=\frac{15}{4}$

$即菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为\frac{15}{4}。$

$解：∵点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(1,4)$

$∴线段AB的中点E的坐标为(0,2)$

$点C(-3,6)，E(0,2)沿着x轴正方向平移n个单位长度可得$

$点C_1(-3+n, 6)，E_1(n,2)$

$∵点C_1和点E_1同时落在反比例函数y=\frac{k_2}{x}的图像上$

$∴(-3+n)×6=2n，解得n=\frac{9}{2}$

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