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$解：∵ \sqrt{\frac{x-6}{9-x}}=\frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{9-x}}$

$∴$

$\begin{cases}{x-6≥0}\\{9-x＞0}\end{cases}$

$解得6≤x＜9$

$又∵x为奇数$

$∴x=7$

$∴ \sqrt{1+2x+x^2}+ \sqrt{3x-1}= \sqrt{(1+x)^2}+ \sqrt{3x-1}=\sqrt{(1+7)^2}+ \sqrt{3×7-1}=8+2\sqrt{5}$

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