解：$(1)$因为甲图中圆筒漂浮在水面，根据物体漂浮条件可知，
此时圆筒受到水的浮力：$F_{浮}=G_{筒}=3\ \mathrm {N}；$
$(2)$乙图中水对圆筒底部的压强：
$p=ρ_{水}\ \mathrm {gh}=1×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}×13×10^{-2}\ \mathrm {m}=1.3×10^3\ \mathrm {Pa}；$
$(3)$甲图中圆筒受到的浮力：
$F_{浮}=ρ_{水}\ \mathrm {gV}_{排}=ρ_{水}\ \mathrm {gSh}_1=1×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}×S×10×10^{-2}\ \mathrm {m}=3\ \mathrm {N}，$
解得：$S=3×10^{-3}\ \mathrm {m^2}，$
乙图中圆筒受到的浮力：
$F_{浮2}=ρ_{水}\ \mathrm {gV}_{排2}=ρ_{水}\ \mathrm {gSh}_2=1×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}×3×10^{-3}\ \mathrm {m^2}×13×10^{-2}\ \mathrm {m}=3.9\ \mathrm {N}，$
因为圆筒和液体漂浮在水面上，所以圆筒和液体的重力：$G_{总}=F_{浮2}=3.9\ \mathrm {N}，$
液体的重力：$G_{液}=G_{总}-G_{筒}=3.9\ \mathrm {N}-3\ \mathrm {N}=0.9\ \mathrm {N}，$
所以液体的密度：$ρ=\frac {m}{V}=\frac {\frac {G}{g}}{V}=\frac {G}{gV}=\frac {0.9\ \mathrm {N}}{10\ \mathrm {N/kg}×100×10^{-6}\ \mathrm {m^3}}=0.9×10^3\ \mathrm {kg}∕\mathrm {m^3}.$
