解：$(2)$由题意，得$-2＜4-mn＜0，$$∴4＜mn＜6$
$∵m，$$n$是正整数，$∴mn=5$
$∴m=1，$$n=5$或$m=5，$$n=1$
$∴m+n=6$
$(3)$由题意，得$3(x-1)-2y=-x+2y=k-1$
$∴ {{\begin{cases} {{3x-2y=k+2}}\\{-x+2y=k-1} \end{cases}}}，$
解得：$ {{\begin{cases} {}{{x=\dfrac {2k+1}2}}\\{}{y=\dfrac {4k-1}4} \end{cases}}}$
$∵x，$$y$均为非负数，$∴{{\begin{cases} {}{{\dfrac {2k+1}2≥0}}\\{}{\dfrac {4k-1}4≥0} \end{cases}}}，$解得：$ k≥\frac 14$
∴实数$x$的取值范围是$ k≥\frac 14$
