解：$(1)$对于方程组$ {{\begin{cases} {{2x-y=3m-1①}}\\{x-2y=-5②} \end{cases}}}$
$①×2-②，$得$3x=6m+3，$解得$x=2m+1$
把$x=2m+1$代入②，得$2m+1-2y=-5，$解得$y=m+3$
∴方程组的解为$ {{\begin{cases} {{x=2m+1}}\\{y=m+3} \end{cases}}}$
$(2)①$根据题意，得${{\begin{cases} {{2m+1＜1}}\\{m+3＞1} \end{cases}}}，$解得$-2＜m＜0$
②原式$=-m+m+2=2$
