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$ 解:因为10^m=50，10^n=2^{-1}，$

$ 所以10^m÷10^n=50÷2^{-1}=100，即10^{m-n}=10^2，$

$ 所以m-n=2，$

$ 所以16^m÷4^{2n}=(4²)^m÷4^{2n}=4^{2m}÷4^{2n}=4^{2m-2n}=4^{2(m-n)}=4^4=256.$

$解：(1)因为a=16^{31}=(2^4)^{31}=2^{124}，b=8^{41}=(2^3)^{41}= 2^{23}，c=4^{61}=(2^2)^{61}=2^{122}，$

$且124\gt 123\gt 122，所以a\gt b\gt c.$

$(2)因为3^{100}=(3^{5})^{20}=243^{20}，5^{60}=(5^3)^{20}=125^{20}，$

$且243\gt 125，所以3^{100}\gt 5^{60}.$

$解：(1)因为N=2^{12}×5^9=2^3×2^9×5^9=8×(2×5)^9= 8×10^9，所以N是一个十位数.$

$(2)因为2^{2022}×3^{2023}=(2^{2022}×3^{2022})×3=6^{2022}×3，$

$ 又因为6^{2022}的个位数字是6，$

$ 所以2^{2022}×3^{2023}=6^{2022}×3的个位数字是8.$

$解：因为25^{x-2}=5^{x+5}，$

$ 所以5^{2(x-2)}=5^{x+5}，$

$ 所以2(x-2)=x+5，$

$ 所以2x-4=x+5，$

$ 所以x=9.$

$解：因为4^{x+1}×3^x-4^x×3^{x+1}=2^3×6^3，$

$ 所以4×4^x×3^x-3×4^x×3^x=(2×6)^3，$

$ 所以4×(4×3)^x-3×(4×3)^x=12^3，$

$ 所以(4-3)×12^x=12^3，$

$ 所以12^x=12^3，$

$ 所以x=3.$

$解：因为2×8^n×16^n=2^{22}，$

$ 所以2×(2^3)^n×(2^4)^n=2^{22}，$

$ 从而2×2^{3n}×2^{4n}=2^{22}，$

$即2^{1+3n+4n}=2^{22}，$

$ 所以2^{7n+1}=2^{22}，$

$ 所以7n+1=22，$

$ 解得n=3.$

$ 因为左边=(2^7)^4×(2^3)^3×2^5=2^{28}×2^9×2^5=2^{42}，$

$右边=4^{3n+3}=(2^2)^{3n+3}=2^{6n+6}，$

$所以2^{42}=2^{6n+6}，即6n+6=42. $

$所以n=6.$