解：$(1)$设$1$辆$A$型车和$1$辆$B$型车都装满货物一次可分别运货$x$吨、$y$吨，
根据题意得
$\begin{cases}2x+y=10\\x+2y=11\\\end{cases}，$
解得
$\begin{cases}x=3\\y=4\\\end{cases}.$
答：$1$辆$A$型车和$1$辆$B$型车都装满货物一次可分别运货$3$吨、$4$吨.
$(2)$根据题意可知：$3a+4b=31，$即$b=\frac {31-3a}{4}，$
使$a，$$b$都为整数的情况共有$a=1，$$b=7$或$a=5，$$b=4，$或$a=9，$$b=1$三种情况.
故租车方案分别为：$①A$型车$1$辆，$B$型车$7$辆；
$②A$型车$5$辆，$B$型车$4$辆；
$③A$型车$9$辆，$B$型车$1$辆.
$(3)$因为$A$型车每辆需租金$100$元$/$次，$B$型车每辆需租金$150$元$/$次，
所以方案一需租金：$1×100+7×150=1150($元)，
方案二需租金：$5×100+4×150=1100($元)，
方案三需租金：$9×100+1×150=1050($元)，
因为$940＜980＜1020，$
所以最省钱的租车方案是方案一：$A$型车$1$辆，$B$型车$7$辆，最少租车费为$1050$元.
