解：$(1)$∵$k>0，$$2≤x≤3，$
∴$y_1$随$x$的增大而减小，$y_2$随$x$的增大而增大
∴当$x=2$时，$y_1$的最大值为\frac k_2=a①
当$x=2$时，$y_2$的最小值为-\frac k_2=a-4②.
由①②得$a=2，$$k=4 $
$ (2)$圆圆的说法不正确
设$m=m_0，$且$-1<m_0<0，$
则$m_0<0，$$m_0+1>0$
∴当$x=m_0$时，$p=y_1=\frac k{m_0}<0；$
当$x=m_0+ 1$时，$q=y_1=\frac k{m_0+1}>0 $
∴$p＜0＜q.$
∴圆圆的说法不正确.
