解：$(1)$把点$A(1，$$4)$代入$y=\frac ax，$得$a=4，$
∴反比例函数的表达式为$y=\frac 4x.$
把点$B(-4，$$c)$代入$y=\frac 4x，$得$c=-1，$
∴$B(-4，$$-1).$
把点$ A(1，$$4)、$$B(-4，$$-1)$代入$y=kx +b，$
得$\begin{cases}{k+b=4 } \\{-4k+b=-1} \end{cases}，$解得$\begin{cases}{k=1，}\\{b=3}\end{cases}$
一次函数的表达式为$y=x+3 $
$ (2) $如图①，∵$A(1，$$4)、$$B(-4，$$-1)，$点$P $是点$A$关于$x$轴的对称点，
∴$P(1，$$-4)$
∴$PA=8$
∴$S_{△PAB}=\frac 12×8×(4+1)=20$
$(3)$由题意，可知$M(m，$$m+3)，$$N(n，$$n+3)，$$E(m，$$\frac 4m)，$$F(n，$$\frac 4n)$
∵$-4＜m＜0，$$n＞1$
∴$ME=m+3-\frac 4m，$$NF=n+3-\frac 4n.$
当$ME=NF $时，$m+3-\frac 4m=n+3-\frac 4n，$
即$(m-n)(1+\frac 4{mn})=0.$
∵$-4＜m＜0，$$n＞1$
∴$m≠n.$
∴$1+\frac 4{mn}=0$
∴$mn=-4$
∴当$mn=-4$时，$ME=NF$
