解：$(1) ∵ \sqrt{a+4}-|b-2|=0，∴$易得$a+4=0，b-2=0$
$∴a=-4，b=2 $
$(2)$存在，设点$C$到$x$轴的距离为$h$
$∴a=-4，b=2$
$∴AB=2-(-4)=6$
$S_{△ABC}=\frac 12AB×h=\frac 12×6h=12，$解得$h=4$
∴点$C$的坐标为$(0，4)$或$(0，-4) $
$(3) $设当运动时间为$1$秒时,四边形$ABPQ$的面积$S$为$15$
由题意,得点$P$的坐标为$(0，3)，PQ=t$
∴四边形$ABPQ $的面积$ S=\frac 12(6+t)×3=15，$解得$t=4$
易得点$Q$的坐标为$(-4，3)$
∴当运动时间为$4$秒时,四边形$ABPQ$的面积$S$为$15，$此时点$Q$的坐标为$(-4，3)$
