第109页 - 创新优化学案七年级数学苏科版

证明:如图，连接$AO$并延长. 、

∵$ ∠3$是$△ABO$的外角，∴$ ∠3=∠1+∠B①. $

∵$ ∠4$是$△AOC$的外角，∴$ ∠4=∠2+∠C②.$

①+②得，$∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠C，$即$∠BOC=∠BAC+∠B+∠C$

130°

解$： (4) ∠BIC=90°+ \frac {1}{2}\ \mathrm {n}° $

∵$ BI、$$CI$分别平分$∠ABC、$$∠ACB，$∴$ ∠IBC=\frac {1}{2} ∠ABC，$$∠ICB=\frac {1}{2} ∠ACB. $

∴：$∠IBC+∠ICB=\frac {1}{2} ∠ABC+ \frac {1}{2} ∠ACB=\frac {1}{2} (∠ABC+∠ACB). $

∵ 在$△ABC$中，$∠ABC+∠ACB+∠A=180°，$∴$ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A. $

∴$ ∠IBC+∠ICB=\frac {1}{2} (180°$一$∠A)=90°- \frac {1}{2} ∠A. $

∵ 在$△BIC$中，$∠BIC+∠IBC+∠ICB=180°，$

∴$∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(90°-\frac {1}{2}∠A ) =90°+ \frac {1}{2} ∠A=90°+ \frac {1}{2}\ \mathrm {n}° $

解:设$ \angle A B C=2 x， \angle A C E=2 y .$

∵$D $是$ \angle A B C $的平分线与$ \angle A C E $的平分线的交点, ∴$\angle D B E=\frac {1}{2} \angle A B C= x， \angle D C E=\frac {1}{2} \angle A C E=y . $

∵$\angle A C E 、$$ \angle D C E $分别是$ \triangle A B C 、$$ \triangle D B C $的外角, ∴$\angle A C E=\angle A+\angle A B C ， \angle D C E=\angle D+\angle D B E . $

∴$2 y=\angle A+2 x①，y=\angle D+x②. $

$② ×2- ① $得$， 0=2 \angle D-\angle A ， $即$ \angle D=\frac {1}{2} \angle A $

解: 由三角形的外角性质$， \angle D A C=\angle B+\angle A C B ，\angle A C E=\angle B+\angle B A C ， $

∵$P A， P C $分别是$ \angle D A C $和$ \angle A C E $的角平分线,

∴$\angle P A C=\frac {1}{2} \angle D A C=\frac {1}{2}(\angle B+\angle A C B)， \angle P C A=\frac {1}{2} \angle A C E=\frac {1}{2}(\angle B+\angle B A C)，$

在$ \triangle A C P $中$， \angle P+\angle P A C+\angle P C A=180° ，$

∴$\angle P+\frac {1}{2}(\angle B+\angle A C B)+\frac {1}{2}(\angle B+\angle B A C)=180°$

∴$2 \angle P+\angle B+\angle A C B+\angle B+\angle B A C=360°，$

在$ \triangle A B C $中$， \angle A C B+\angle B+\angle B A C=180° ，$

∴$2 \angle P+\angle B=180°， $

∴$\angle P=90°-\frac {1}{2} \angle B .$