解$：(1)$将②变形,得$2x+6y+y=6$
即$2(x+3y)+y=6$
将①代入上式得$：4+y=6$
解得$y=2$
将$y=2$代入①得$：x+6=2$
解得$x=-4$
所以原方程组的解为$x=-4，y=2$
$(3)$由③得$：2x²+y²=\frac {25+2xy}{3}$
由④得$：2(2x²+y²)=10-xy$
所以$2×\frac {25+2xy}{3}=10-xy$
解得$xy=-\frac {20}{7}$
所以$2x²+y²+xy=\frac {25+2×(-\frac {20}{7})}{3}+(-\frac {20}{7})=\frac {25}{7}.$
