解：$(1)$设$1$辆$A$型车和$1$辆$B$型车都装满货物一次可分别运货$x$吨、$y$吨，
根据题意得
$\begin{cases}2x+y=10\\x+2y=11\\\end{cases}，$
解得$\begin{cases}x=3\\y=4\\\end{cases}.$
答：$1$辆$A$型车和$1$辆$B$型车都装满货物一次可分别运货$3$吨、$4$吨.
$(2)$根据题意可知：$3a+4b=31，$即$b=\frac {31-3a}{4}，$
使$a，$$b$都为整数的情况共有$a=1，$$b=7$或$a=5，$$b=4，$或$a=9，$$b=1$三种情况.
故租车方案分别为：$①A$型车$1$辆，$B$型车$7$辆；
$②A$型车$5$辆，$B$型车$4$辆；
$③A$型车$9$辆，$B$型车$1$辆.
