解：$(1) \angle B P C=\angle A B P+\angle A C P+\angle B A C $
理由: 如图 ①, 连接$ A P $并延长至点$ D . $
∵$\angle B P D= \angle A B P+\angle B A P，$$ \angle C P D=\angle A C P+\angle C A P ，$
$\angle B A C=\angle B A P+\angle C A P，$$ \angle B P C=\angle B P D+ \angle C P D，$
∴$\angle B P C=\angle A B P+\angle A C P+\angle B A C .$
$(2)$如图 ②, 连接$ B C ，$ 连接$ A P $并延长至点$ Q . $
∵$B A 、$$ C A $分别平分$ \angle D B P 、$$ \angle E C P $交于点$ A ，$
∴$\angle D B A=\angle A B P，$$ \angle E C A=\angle A C P . $
∵$m / / n ，$ ∴$\angle D B A+\angle A B P+\angle P B C+\angle E C A+\angle A C P+ \angle P C B=180° . $
∵$\angle B P C+\angle P B C+\angle P C B=180° ，$
∴$\angle B P C=\angle D B A+\angle A B P+\angle E C A+\angle A C P= 2 \angle A B P+2 \angle A C P . $
∴$\angle A B P+\angle A C P=\frac {1}{2} \angle B P C= 40° . $
由$ (1) $可知$ \angle B P C=\angle A B P+\angle A C P+\angle B A C ，$
∴$\angle B A C=\angle B P C-\angle A B P-\angle A C P=80°- 40°=40° $
$(3)$如图③, 连接$ B C . $
∵$B F_1 、$$ C F_1 $分别平分$ \angle G B P 、$$ \angle H C P $交于点$ F_1，$
∴$\angle G B F_1=\angle P B F_1 ，$$ \angle H C F_1=\angle P C F_1 .$
∵$m / / n，$ ∴$\angle G B F_1+\angle F_1\ \mathrm {B} C+ \angle B C F_1+\angle H C F_1=180° . $
∵ 在$ \triangle B C F_1 $中，$ \angle F_1\ \mathrm {B} C+ \angle B C F_1+\angle F_1=180°，$
∴$\angle G B F_1+\angle H C F_1= \angle F_1 . $
∵ 在$ \triangle P B C $中，$ \angle P+\angle P B C+\angle P C B= 180°，$
∴$\angle F_1\ \mathrm {B} C+\angle B C F_1+\angle F_1+\angle P+\angle P B C+ \angle P C B=360° . $
∴$\angle P B F_1+\angle P C F_1+\angle F_1+\angle P= 360° . $∴$\angle F_1+\angle P+\angle F_1=360° .$
∵$\angle P=80° ，$ ∴$\angle F_1=\frac {360°-80°}{2}=140° . $
利用$ (2) $的结论：$ \angle F_2= \frac {1}{2} ×140°=70° ，$ 以此类推，$ \angle F_{2020}=\frac {140°}{2^{2019}}$
