解：$(1)$设$AC$与$BD$相交于点$O，$当点$K$在$OB$上时
∵$O$是$AC$的中点，$K$是$PQ$的中点
∴$PQ=2BK=2x$
∴$y=\frac 12x · 2x=x^2(0＜x＜1)$
当点$K$在$OD$上运动时，$KD=2-x$
∴$PQ=2(2-x)，$$y=\frac 12x · 2(2-x)=-x^2+2x(1≤x＜2)$
∴所求的函数表达式为当$0＜x＜1$时，$y=x^2；$
当$1≤x＜2$时，$y=-x^2+2x$
$(2)$函数图像如图所示
