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解：$(1)①a＞0；$$②c＜0；$$③-\frac b{2a}＞0$

$(2)y=ax^2+bx+c+2$的图像由原函数图像向上平移$2$个单位长度得到

与$x$轴有且只有$1$个交点

∴方程$ax^2+bx+c+2=0$有两个相等实数根

解：根据题意得$y=(x-30)(162-3x)$

$=-3x^2+252x-4860$

$=-3(x-42)^2+432$

∴当$x=42$时，利润$y$最大

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