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解：$(1)(-4m)^2-4×2\ \mathrm {m^2}=8\ \mathrm {m^2}$

∵$m≠0$

∴$8\ \mathrm {m^2}＞0$

∴这个二次函数的图像与$x$轴有两个公共点

$(2)$将$(m+1，$$m)$代入函数得$2(m+1)^2-4m(m+1)+\mathrm {m^2}=m$

解得$m=-2$或$m=1$

∴二次函数的表达式为$y=2x^2+8x+4$或$y=2x^2-4x+1$

解：$(1)$设$s=at(t-4)$

将$(2，$$-2)$代入得$a=\frac 12$

∴函数表达式为$s=\frac 12t(t-4)，$即$s=\frac 12t^2-2t$

$(2)$由$30=\frac 12t^2-2t$

解得$t_{1}=10，$$t_{2}=-6($舍去)

∴截至$10$月末公司累计利润可达$30$万元

$(3)$当$t=7$时，$s=10.5；$当$t=8$时，$s=16$

$16-10.5=5.5($万元)

∴第$8$个月公司所获利润是$5.5$万元