解：$(1) $设学校购买$ x $个篮球，则购买$ (20-x) $个足球
由题意，得$ \{\begin{array}{l}200x+150(20-x) \leqslant 3550\\x>\frac {2}{3}(20-x)\end{array}，$解得$ 8<x \leqslant 11$
∵$x $为自然数
∴$x $可取$ 9，$$10，$$11 $
∴学校有$ 3 $种购买方案
方案一： 购买$ 9 $个篮球和$ 11 $个足球；
方案二： 购买$ 10 $个篮球和$ 10 $个足球；
方案三： 购买$ 11 $个篮球和$ 9 $个足球.
$ (2) $由题意，得优惠前方案一的总费用为$ 200 × 9+150 ×11=3450 ($元)
方案二的总费用为$ 200 ×10+150 ×10=3500 ($元)
方案三的总费用为$ 200 ×11+150 ×9=3550 ($元)
对于方案一，到甲商场购买需花费$ 500+(3450-500) × 90 \%=3155 ($元)，
到乙商场购买需花费$ 2000+ (3 450-2000) ×80 \%=3160 ($元)
∵$3155< 3160$
∴学校到甲商场购买花费少
对于方案二， 到甲商场购买需花费$ 500 + (3 500-500) ×90 \%=3200 ($元),
到乙商场购买需花费$ 2000+(3500-2000) ×80 \%=3200 ($元)
∴学校到两家商场购买花费一样多
对于方案三，到甲商场购买需花费$ 500+(3550-500) × 90 \%=3245 ($元)，
到乙商场购买需花费$ 2000+ (3 550-2000) ×80 \%=3240 ($元)
∵$3245> 3240$
∴学校到乙商场购买花费少
