解：$(1) $∵$ \angle A E D=\angle A C B$
∴$ D E / / B C$
∴$ \angle A D E=\angle A B C.$
∵$\angle D E F=\angle A B C$
∴$\angle A D E=\angle D E F$
∴$E F / / A B$
$(2) $设$ S_{\triangle D E F}=x$
∵$F $是$ C D $的中点
∴$S_{\triangle C D E}=2\ \mathrm {S}_{\triangle D E F}=2x， S_{\triangle B D F}=\frac {1}{2}\ \mathrm {S}_{\triangle B C D}$
∵$E$是$ A C $的中点
∴$ S_{\triangle A C D}=2\ \mathrm {S}_{\triangle C D E}=4x$
∵$D $是$ A B $的中点
∴$ S_{\triangle A B C}=2\ \mathrm {S}_{\triangle A C D}=8x， S_{\triangle B C D}=S_{\triangle A C D}=4x$
∴$S_{\triangle B D F}=2x$
∴$S_{四边形 B D F F}=S_{\triangle B D F}+S_{\triangle D E F}=3x$
∵$S_{四边形BDEF }= 6$
∴$3x=6， $解得$ x=2$
∴$S_{\triangle A B C}=16$
∴$\triangle A B C $的面积为$ 16$
