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解：(1)∵AD//BC

∴∠B=∠DAE

∵∠B=∠D

∴∠DAE=∠D

∴AE//CD

∴∠E=∠ECD.

(2)∵CE平分∠BCD

∴∠BCE=∠ECD

∵∠E=∠ECD

∴∠BCE=∠E=60°

∴∠B=180°-∠BCE-∠E=60°

∵∠B=∠D

∴∠D=60°

解：(1) 如图①，过点C作CF//AB，则

∠B+∠BCF=180°

∵∠B=135°

∴∠BCF=180°-∠B=45°

∵AB//DE

∴CF//DE

∴∠FCD+∠D=180°

∵∠D=145°

∴∠FCD=180°-∠D=35°

∴∠BCD=∠BCF+∠FCD=80°

(2)如图②，分别过点C，D作CM//AB，DN//AB

∵AB//EF

∴AB//CM//DN//EF

∴∠B+∠1=180°，∠2+∠3=180°，∠4+∠F=180°

∴∠B+∠1+∠2+∠3+∠4+∠F=540°

∴∠B+∠BCD+∠CDF+∠F=540°

解：$(1)$∵多边形的内角和一定是$180°$的整数倍，而$1125°=6×180°+45°$

∴$1125°$不是多边形的内角和

∴小芳判断小刚的计算有误

$(2) $设这个内角是$x°(0＜x＜180)$多边形的边数为$n$

由题意，得$1125°+x°=(n-2)·180°$

∴$n=8+\frac {45+x}{180} $

∵$n$为正整数，所以$45+x$为$180$的整数倍

∵$0＜x＜180$

∴$x=135$

∴这个内角是$135°$

$(3) $由$(2)$得$n=8+1=9$

∴这个多边形有$9$条边

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