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第122页

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$(1)$若$∠PAB=90°$

则$P$点的横坐标为$-2，$代入$y=\frac {1} {2}x+\frac {5} {2}$

解得：$y=\frac {3} {2}，$则$P(-2，$$\frac {3} {2})$

$(2)$若$∠PBA=90°$

则$P$点的横坐标为$4，$代入$y=\frac {1} {2}x+\frac {5} {2}$

解得：$y=\frac {9} {2}，$则$P(4，$$\frac {9} {2})$

$(3)$若$∠APB=90°，$则设$P(x，$$\frac 12x+\frac {5}{2})$

在直角三角形中$PA^2+PB^2=AB^2$

∴$(x+2)^2+(\frac x{2}+\frac 52)^2+(x-4)^2+(\frac x{2}+\frac 52)^2=6^2$

$x_1= 1 ，$$x_2=-\frac {7}{5}$

∴$P(1，$$3)$或$P(-\frac {7}{5}，$$\frac {9}{5})$

综上所述点$P$的坐标为：$(-2，$$\frac {3} {2})，$$(4，$$\frac 92)，$$(1，$$3)，$$(-\frac {7}{5}，$$\frac {9}{5})$

解：①以$OA$为公共边

$B_1(0，$$-3)、$$B_2(4，$$-3)、$$B_3(4，$$3)$

②以$OB$为公共边

$A_1(-4，$$0)、$$A_2(-4，$$3)、$$A_3(4，$$3)$

③以$AB$为公共边

设未知顶点坐标为$C(m，$$n)$

∵$∠BCA=90°$

∴点$C$到线段$ABDE$中点$(2，$$\frac 32)$的距离为$\frac 12AB=\frac 52$

∴$(m-2)^2+(n-\frac 32)^2=(\frac 52)^2$

化简得$\mathrm {m^2}+n^2=4m+3n①$

当$BC=4，$$AC=3$时

$\begin{cases}{(m-0)^2+(n-3)^2=4^2}\\{(m-4)^2+(n-0)^2=3^2}\end{cases}$

化简之后得$4m-3n=7，$∴$n=\frac {4m-7}3$

将$n=\frac {4m-7}3$代入①解方程得$m_1=4，$$m_2=\frac {28}{25}$

∴$C(4，$$3)$或$C(\frac {28}{25}，$$-\frac {21}{25})$

当$BC=3，$$AC=4$时

$\begin{cases}{(m-0)^2+(n-3)^2=3^2}\\{(m-4)^2+(n-0)^2=4^2}\end{cases}$

化简之后得$6n=8m，$$n=\frac 43m$

将$n=\frac 43m$代入①解方程得$m_3=0，$$m_4=\frac {72}{25}$

当$m_3=0$时，点$C$与点$O$重合，故舍去

∴$C(\frac {72}{25}，$$\frac {96}{25})$

综上所述，这个直角三角形的未知顶点坐标为$(0，$$-3)、$$(4，$$-3)、$$(4，$$3)、$

$(-4，$$0)、$$(-4，$$3)、$$(\frac {28}{25}，$$-\frac {21}{25})、$$(\frac {72}{25}，$$\frac {96}{25})$