解：$(2)$把$x=k$代入$y=-x-1，$得$y=-k-1，$
则$A_1$的坐标是$(k，$$-k-1)；$
把$x=k$代入$y=\frac {1}{x}$得：$y=\frac {1}{k}，$
则$B_1$的坐标是$(k，$$\frac {1}{k})；$
把$y=\frac {1}{k}$代入$y=-x-1$得：$\frac {1}{k}=-x-1$
解得：$x=-\frac {k+1}{k}，$即$A_2$的坐标是$(-\frac {k+1}{k}，$$\frac {1}{k})；$
把$x=-\frac {k+1}{k}$代入$y=\frac {1}{x}$得：$y=-\frac {k}{k+1}$
则$B_2$的坐标是$(-\frac {k+1}{k}，$$-\frac {k}{k+1})$
把$y=-\frac {k}{k+1}$代入$y=-x-1，$得：$x=-\frac {1}{k+1}$
即$A_3$的坐标是$(-\frac {1}{k+1}，$$-\frac {k}{k+1})；$
把$x=-\frac {1}{k+1}$代入$y=\frac {1}{x}$得：$y=-k-1$
则$B_3$的坐标是$(-\frac {1}{k+1}，$$-k-1)$
把$y=k+1$代入$y=-x-1$得$x=k，$则$A_4$的坐标是$(k，$$-k-1)，$即$A_1$
则点$A_{n}$的横坐标分别是：$k，$$-\frac {k+1}{k}，$$-\frac {1}{k+1}，$···三个循环一次
