解：$(1)$由题意得$∠EMB=∠A=90°，$$EM=AE$
∴$△DME∽△CGM，$$DM+DE+EM=\frac 12+1=\frac 32$
设$DE=x，$由$DE^2+DM^2=EM^2$
得$x^2+(\frac 12)^2=(1-x)^2$
解得$x=\frac 38$
∴$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {\frac 12}{\frac 38}=\frac 43$
∴$CM+CG+MG=\frac 32×\frac 43=2$
$(2)DM+DE+EM=\frac 13+1=\frac 43$
设$DE=y，$由$DE^2+DM^2=EM^2$
得$y^2+(\frac 13)^2=(1-y)^2，$解得$y=\frac 49$
∴$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {\frac 23}{\frac 49}=\frac 32$
∴$CM+CG+MG=\frac 43×\frac 32=2$
$(3)$猜想点$M$在$CD$边上，$CM+CG+MG=2$总成立
证明：设$DM=a，$$DE=b，$则$DM+DE+EN=1+a$
由$DE^2+DM^2=EM^2，$得$a^2+b^2=(1-b)^2，$即$1-a^2=2b$
∴$\frac {CM+CG+MG}{DM+DE+EM}=\frac {MC}{DE}=\frac {1-a}b$
∴$CM+CG+MG=(1+a) · \frac {1-a}b=\frac {1-a^2}b=\frac {2b}b=2，$猜想得证
