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解：$(1)$∵$AD//BC$

∴$∠B+∠BAD=180°$

∵$∠B=80°$

∴$∠BAD=180°-∠B=100°$

$(2)$∵$AE$平分$∠BAD，$$∠BAD=100°$

∴$∠DAE= \frac {1}{2} ∠BAD=50°$

∵$AD//BC$

∴$∠BEA=∠DAE=50°$

∵$∠BCD=50°$

∴$∠BEA=∠BCD$

∴$AE//DC$

解：$(1) $设每台$ A $型早餐机和每台$ B $型早餐机的价格分别是$ x $元和$ y $元

由题意，得$ \{\begin{array}{l}8x+3y=1000\\6x+y=600\end{array}，$解得$ \{\begin{array}{l}x=80\\y=120\end{array} $

∴每台$ A $型早餐机和每台$ B $型早餐机的价格分别是$ 80 $元和$ 120 $元

$(2)$设购进$ A $型早餐机$ m $台，则购进$ B $型早餐机$ (20-m) $台

由题意，得$ 80m+120(20-m) \leqslant 2200，$解得$ m \geqslant 5$

∴至少要购进$ A $型早餐机$ 5 $台