解：$(1)$设 “冰墩墩” 玩具每只进价是$ x $元，“雪容融”玩具每只进价是$ y $元
由题意，得$ \{\begin{array}{l}8x+10y=2000\\10x+20y=3100\end{array}，$解得$ \{\begin{array}{l}x=150\\y=80\end{array}$
∴“冰墩墩”玩具每只进价是$ 150 $元，“雪容融” 玩具每只进价是$ 80 $元
$(2)$设该专卖店购进“冰墩墩”玩具$ m $只，“雪容融” 玩具$ n $只，总利润是$ w $元，则
$ w=(200- 150)m+(100-80)n=50m+20n$
由题意，得$ 150m+80n=3500$
∵$m，$$n $都是正整数
∴$\{\begin{array}{l}m=2\\n=40\end{array} $或$ \{\begin{array}{l}m=10\\n=25\end{array}$或$ \{\begin{array}{l}m=18\\n=10\end{array} $
当$ m=2，$$n= 40 $时，$w=50 ×2+20 ×40=900 $
当$ m=10，$$n= 25 $时，$w=50 ×10+20 ×25=1000 $
当$ m=18，$$n=10 $时，$w=50 ×18+20 ×10=1100 $
∵$900<1000<1100$
∴当该专卖店购进“冰墩墩”玩具$ 18 $只，“雪容融”玩具$ 10 $只时，总利润最大
