解：$(1)$∵$OA⊥OB$
∴$∠AOB=90°$
∴$∠OAP+∠APO=90°$
∵$AE，$$PE$分别平分$∠OAP，∠APO$
∴$∠PAE= \frac {1}{2} ∠OAP，∠APE=\frac {1}{2} ∠APO$
∴$∠PAE+∠APE= \frac {1}{2} (∠OAP+∠APO)=45°$
∴$∠AEP=180°-(∠PAE+∠APE)=135°$
$(2) △EPF $的形状不变，且$△EPF $是等腰直角三角形
理由如下：
∵$PE$平分$∠APO，$$PF $平分$∠OPD$
∴$∠OPE= \frac {1}{2} ∠APO，∠OPF=\frac {1}{2} ∠OPD$
∴$∠EPF=∠OPE+∠OPF=\frac {1}{2} (∠APO+∠OPD)= \frac {1}{2}×180°=90°$
∵$∠AEP=135°$
∴$∠FEP=180°-∠AEP=45°$
∴$∠EFP=90°-∠FEP=45°$
∴$△EPF $的形状不变，且$△EPF $是等腰直角三角形
