解：$(1)$过点$E$作$EF//AB($点$F $在点$E$的左侧)，则
$∠BEF=∠ABE$
∵$AB//CD$
∴$EF//CD$
∴$∠CEF=∠DCE$
∴$∠BEC=∠BEF+∠CEF=∠ABE+∠DCE$
$(2)$∵$BE_1，$$CE_1$分别平分$∠ABE，$$∠DCE$
∴$∠ABE_1= \frac {1}{2} ∠ABE，∠DCE_1= \frac {1}{2} ∠DCE$
由$(1)$可得$∠BE_1C=∠ABE_1+∠DCE_1=\frac {1}{2} (∠ABE+∠DCE)= \frac {1}{2} ∠BEC$
$(3) $由$(2)$可得$∠BE_1C= \frac {1}{2} ∠BEC，∠BE_2C=\frac {1}{2} ∠BE_1C = \frac {1}{2²} ∠BEC，...，$
依此类推可得$∠BE_nC= \frac {1}{2^n} ∠BEC$
∵$∠BE_nC=α$
∴$∠BEC=2^n·α$
